Recalculer ies logarithmes à la main.

15 juillet 2022

Recalculer ies logarithmes à la main.

L'utilisation des logarithmes a révolutionné les calculs mathématiques, 300 ans avant l'informatique . Si les tables d'addition et de multiplication sont mémorisables et mémorisées, les tables logarithmiques sont trop complexes et infinies.

Une échelle logarithmique permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'ordre de grandeur est très différent. Les logarithmes sont fréquents dans les formules utilisées en sciences, mesurent la complexité des algorithmes et des fractales et apparaissent dans des formules permettant de dénombrer les nombres premiers.

Mais comment les recalculer ?

Méthode de Newton.

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}3}-{\frac {x^{4}}4}+\cdots +(-1)^{{k}}{\frac {x^{{k+1}}}{k+1}}+\cdots$

Tout logarithme transforme

e=2,718281828459045.

Changement de base

Logarithmes et valeurs inverses.

log(1)=0

~>log(N/N)=0

~> log(N) + log(1/N) = 0

~> log(N) = - log(1/N)

si N<1 alors log(N)<0

Au final

la méthode de Newton peut être utilisée pour x comprit entre --1 et +1 soit x+1 entre 0 et 2.
Pour les valeur > 2 on calcule sur l'inverse.
Plus x diverge de 0, plus la convergence est lent

On peut aussi retenir ln(2) et ln(10) par exemlple, et décomposer jusqu'à une valeur <2 : 523 = 10*10*2*2*1.3075
Il reste donc à calculer ln(1.3075).
En fait, tout ceci n'a d'intéret que pour un processeur piloté par un programme sans fonction log par défaut.

Source Tableur

A1=valeur
E1=ln(A1)
B8=PUISSANCE(-1;A8+1)
C8=PUISSANCE(A$1-1;A8)/A8* B8
D8=D7+C8
Les colonnes E à J sont la moyenne des colonnes précédentes et permettent de'obtenir la convergence plus rapidement. Par exemple, E8 = (D8+ D7) /2..

Source Pascal

Function logarithme(n : extended) : extended;
const
ln10 = 2.30258509299;
ln2 = 0.69314718056;
precision = 0.0000000001;
var
i,j :int;
log,plog,delta : extended ;
begin
i:=0;
while n>2 do begin inc(i); n:=n/2;end;
x:=n-1;
j:=0;log:=0;
repeat
     j:=j+1;
     delta:=power(-1,j+1)*+power(x,j)/j;
     plog:=log;
/     log:=log+delta;
until abs(log-plog)<=precision;
Result:=log+(i*log2);
// il suffit de diviiser par ln10 pour les logs décimaux
end;v