Calcul à la main d'une Racine, méthode Héron...

3 juin 2022

Calcul à la main d'une Racine, méthode Héron...

Méthode de calcul à la main (à l'ancienne)
Calculer la racine carrée n'est pas plus compliqué qu'effectuer une division.
C'est tout aussi fastidieux. Mais ce fut le seul moyen avant l'arrivée des calclatrices.

Méthode par dichotomie
Cette méthode est générale à beaucoup de calcul. Il s'agit de cerner la valeur recherchée en encadrant la réponse de plus en plus finement.
Méthode qui est pratique lorsqu'on dispose d'une calculette sans la fonction racine carrée.

Formule pour approcher une racine carrée.

Algorithme de Babylone ou Algorithme de Héron

Trouver la racine carrée d'un nombre n'est pas si facile ! Les Anciens (Héron d'Alexandrie – Livre I des Métriques) avaient déjà un truc assez performant, et, qui est encore utilisé=aujourd'hui.

On trouve facilement deux nombres encadrant la racine cherchée. La moyenne de ces deux nombres est une bonne approximation de la racine. Une +meilleure valeur est obtenue en recommençant l'opération…


Étape 1	Littéral	exemple
Soit un nombre A:	A	A = 10 √A = 3,16
Si A est une valeur supérieure à la racine de A.	√A < A	/3,16 < 10
Considérons la valeur du ratio	A / A	10 / 10 = 1
La valeur de ce ratio est inférieure à la racine de A	A / A < √A	1 < 3,16
Bilan	A/A<√A<A	1 < 3,16 < 10
Ayant trouvé deux valeurs encadrant la solution, il est tentant d'en prendre la moyenne, en pensant que la nouvelle valeur est une meilleure approximation..	r = 1/2 (A + A/A)	r = 1/2 (10 + 1) = 5 + 0, 5 = 5, 5
Étape 2
Reprenons le procédé avec cette nouvelle racine	r₁ = 1/2 (r + N/r)	r₁= 1/2 (5,5 + 10/5,5) = 2,75 + 0,909 = 3,659
Etc. Nous allons converger vers la racine		r_k = 3,16 …

Exemple tableur

Exemple Pascal

Function RacineCarre(n : extended) : extended; {formule de Héron}
const
precision = 0.00000000000001;
var
x1, x2 : extended ;
begin
x2 := n/2;
repeat
x1 := x2;
x2 := x1 - (x1*x1-n)/(2*x1)
until abs(x1-x2)<=precision
RacineCarre := x2;
end;